Widok Ziemi z samolotu.

Autor: Ksawery Stojda

Więcej ciekawych lekcji na blogu autora

 

Lekcja zainspirowana pytaniem postawionym przez ucznia:
„Gdy wyglądamy przez okienko samolotu, to wydaje się, że horyzont zagina się po bokach trochę ku dołowi. Wydaje nam się tak, czy to dlatego, że Ziemia jest okrągła?”
Moja odpowiedź: „a czy ja wiem? Sprawdźmy, narysujmy, policzmy!”

Lekcja ta uświadomiła mi większą nawet niż dotąd sądziłem potrzebę ćwiczenia wyobraźni przestrzennej i geometrycznej.

 

Grupa docelowa:
U mnie: gimnazjum. Ale część tej lekcji okazała się zbyt trudna nawet dla dobrze wyrobionego matematycznie gimnazjalisty — moja pomoc w rachunkach okazała się konieczna. W liceum moglibyśmy jednak oczekiwać, że uczeń sam da sobie radę z potrzebną tu algebrą i trygonometrią.

 

Cele edukacyjne:
Ćwiczenie wyobraźni przestrzennej, rzuty, kule, stożki, elipsy, równania kwadratowe, twierdzenie Pitagorasa, trójkąty prostokątne, perspektywa, szerokość kątowa, przybliżenie małych kątów sinα≈α , wymiary Ziemi, topografia obszaru na Ziemi nad którym uczeń przelatywał, horyzont, orientacja w przestrzeni, załamanie światła.

 

 

Pytanie kluczowe:
Gdy wyglądamy przez okienko samolotu, to wydaje się, że horyzont zagina się po bokach trochę ku dołowi. Czy to złudzenie, czy naprawdę widzimy łuk krzywizny Ziemi?

 

Pomoce naukowe:
– wielka (prawie 1m średnicy) okrągła piłka;
– wietnamski kapelusz (stożek);
– papier, cienkie listewki, spinacze, taśma klejąca;
– latarka;
– przybory kreślarskie;
– globus;
– atlas geograficzny (Google Earth);
– dostęp do Internetu (Wiki).

 

Problem: Jeśli obserwator znajduje się na jakiejś wysokości nad powierzchnią Ziemi, to jak daleko od niego jest linia horyzontu? Ilustrujemy to oglądaniem plamy światła na wielkiej piłce, pochodzącej od latarki trzymanej w różnej odległości od jej powierzchni. Do piłki przyklejamy taśmą listewkę (stycznie do powierzchni). To jest linia, na której może się znajdować obserwator, który widzi horyzont w zadanym punkcie. Drugą listewkę przyklejamy w innym punkcie. Gdzie one się przecinają? Jak wysoko nad powierzchnią piłki?
Jaka jest zależność promienia horyzontu od wysokości obserwatora (w przybliżeniu małych kątów gimnazjalista nie ma problemu z jej wyprowadzeniem — sprowadza się to do twierdzenia Pitagorasa)? Jaka jest więc odległość do horyzontu dla samolotu, lecącego 11,000m nad powierzchnią? (Mój uczeń był niedawno na wakacjach w Maroku, po przeleceniu nad Morzem Śródziemnym samolot leciał bardzo długo wzdłuż hiszpańskiego wybrzeża, potem nad Szwajcarią): czy znad Afryki mogłeś widzieć hiszpańskie wybrzeże (nie, bo siedział z prawej strony…), a znad Walencji wybrzeże Afryki? A Baleary? A wszystkie trzy wyspy? A środkowa największa? A znad Barcelony je widać? A Korsykę i Sardynię (to już za daleko), etc.

 

Problem: A czy ugięcie światła w atmosferze spowoduje, że horyzont będzie bliżej, czy dalej niż policzony dla naszej kuli bez żadnych optycznych efektów? Rysujemy ugięcie promienia światła. A o ile dalej? Policzenie tego zdecydowanie wykracza poza gimnazjalną matematykę. Trzeba by policzyć całkę. Ale może potrafimy oszacować? Na przykład na podstawie długości trwania dnia (od wschodu do zachodu), czyli horyzontu widzianego z bardzo odległego punktu widzenia: Słońca? Na wysokości samolotu mamy pod nami mniej więcej połowę tego powietrza, co ma odległy obserwator, więc i efekt powinien być o mniej więcej połowę słabszy. No to o ile dalej mamy horyzont w wyniku ugięcia światła? Sprawdźmy z Wiki, czy nasz szacunek ma sens. No to jak daleko jest nasz widoczny horyzont od samolotu? Czy starczy aż do Korsyki? (na styk by starczyło, ale może odrobina zachmurzenia przeszkodziła, a może jej nie zapamiętał, a może samolot leciał trochę głębiej na północ w ląd, a nie dokładnie wzdłuż linii wybrzeża…)

 

Problem: Jak wygląda linia horyzontu oglądana przez okienko samolotu? Niech ta kartka papieru będzie okienkiem (jest mniej więcej takiej wielkości). Wyobraźmy sobie, że opieramy się czubkiem nosa o wewnętrzną szybkę okienka, do zewnętrznej jest 5cm przerwy, czyli od oka do zewnętrznej krawędzi otworu, ograniczającego nasze pole widzenia jest, powiedzmy 10cm. Narysujmy linię horyzontu na naszej kartce tak, jakbyśmy ją widzieli przez to okienko.

 

Problem ten okazał się nadspodziewanie trudny, mimo naprawdę dobrej (zwłaszcza w kontekście katastrofalnego wyniku zadania [zad.23] o sześcianie zrobionym z listewek na Diagnozie Kompetencji Gimnazjalistów, które mojemu uczniowi nie sprawiło najmniejszej trudności) wyobraźni przestrzennej mojego ucznia. Wyobrażenie sobie tej perspektywy wymagało kilkunastu minut zabaw (wspieranych moimi podpowiedziami) ze stożkowym wietnamskim kapeluszem oglądanym i oświetlanym na różne sposoby, najbardziej pomocne okazało się kółko z papieru, przebite w środku wykałaczką, przechodzącą pod kątem, przydało się tez oglądanie jednym i drugim okiem krawędzi okrągłego stolika po położeniu bokiem głowy na jego środku.

 

Udało nam się jednak ustalić, że horyzont będzie w tej perspektywie wyglądał jak fragment elipsy, a dalej już poszło jak z płatka: wyznaczenie jej półosi i policzenie współrzędnych kilku punktów, przez które przechodzi. Możemy więc ją narysować (łuk o szerokości kartki ma wybrzuszenie ok. 5mm) — ledwo widać, że zakrzywione. Ale widać… A z samolotu też tak ledwo było widać, ale trochę było. Nad Morzem Śródziemnym, bo nad Alpami to już nie było widać ani trochę — tam horyzont postrzępiony górami.

 

No to może jednak to się nie wydawało, ale naprawdę widziałem na własne oczy, że Ziemia jest okrągła?

 

Do domu: Gdy tuż przed świtem, albo tuz po zachodzie widzisz nad horyzontem rozświetlone słońcem chmury: jak daleko te chmury są od ciebie? Ile czasu musisz poczekać do świtu (ile czasu minęło od zniknięcia tarczy Słońca pod horyzontem)? Nad jakim miastem (mniej więcej) wiszą te chmury?