Suma kątów w wielokącie

Autor: Łukasz Mrowicki

 

Rekomendacja konsultanta merytorycznego CEO, Jerzego Kielecha:

To doświadczenie podpatrzone przez uczniów w podręczniku matematyki, dzięki zaproponowanej instrukcji jest przykładem prostych zajęć z pytaniem problemowym.

 

Podstawowe pojęcia:

Wielokąt, kąt wewnętrzny wielokąta, wyrażenie algebraiczne

 

Źródło:

Podręcznik matematyki „Matematyka 1, GWO” str. 105 oraz str. 113

 

Hipoteza zaproponowana przez uczniów:

- Suma kątów w wielokącie o „n” bokach wynosi n*180o

- (n-2)*180o

 

Opis doświadczenia:

„Uczniowie mają za zadanie przeanalizować ile wynosi suma katów wewnętrznych rysowanych wielokątów, których ilość boków zwiększa się stopniowo o jeden  Każdorazowo należy podzielić powstały wielokąt na rozłączne trójkąty w ten sposób by wypełniły cały wielokąt (rysując odpowiednie przekątne wyprowadzone z jednego wierzchołka) i zliczyć sumę kątów przy znanej sumie dla trójkąta. Problemem do rozwiązania jest określenie wyrażenia algebraicznego określającego ogólna zależność między sumą katów a ilością boków z wykorzystaniem zasady. Iż suma katów trójkąta jest stała”

 

Zmienne występujące w doświadczeniu

 

Jakie zmienną/wielkość będziemy zmieniać? (zmienna niezależna)

Liczba boków w wielokącie („n” w „n- kącie”)

 Jaką zmienną/wielkość będziemy mierzyć - obserwować? (zmienna zależna)

Suma kątów wewnętrznych wielokąta. (Jakim wyrażeniem arytmetycznym można określić tę sumę dla danego wielokąta, jakim wyrażeniem da się opisać sumę w zależności od n.)

Czego w naszym eksperymencie nie będziemy zmieniać? (zmienne kontrolne)

Trójkąty muszą być rozłączne i wypełnić cały wielokąt. Podział musi gwarantować, że suma wszystkich katów trójkąta równa jest sumie katów wielokąta.

 

Instrukcja do doświadczenia:

 

Instrukcja.

  1. Rysujemy dowolny trójkąt i wnioskujemy, że suma kątów wynosi 180o.
  2. Rysujemy dowolny czworokąt i „dzielimy” go na dwa trójkąty. Wnioskujemy, że suma katów w czworokącie wynosi 2*180o=360o.
  3. Rysujemy dowolny pięciokąt i „dzielimy” go na trójkąty. Wyciągamy wniosek co do sumy katów wewnętrznych.
  4. Rysujemy dowolny sześciokąt i „dzielimy” go na trójkąty. Wyciągamy wniosek co do sumy katów wewnętrznych.
  5. Tworzymy ogólne wyrażenie algebraiczne służące do obliczenia sumy kątów wewnętrznych w wielokącie o „n”- bokach.

BHP.

 Ostrożnie posługiwać się przyborami na tablicy.

 

 

Proponowany sposób dokumentacji uczniowskiej:

 

Powstają rysunki kolejnych wielokątów i podział na trójkąty wg opisanej zasady np. w sposób zaproponowany z wykorzystaniem programu komputerowego

 

 

 

Uczniowie zapisują sumy katów w kartach pracy i okrywają ogólną zależność – powstaje odpowiednie wyrażenie algebraiczne

 

 

 

Można zaproponować drobną modyfikację instrukcji doświadczenia; na obserwację o ile zmienia się ilość trójkątów na które został podzielony w oparciu o rysunek, który przekształcamy dynamicznie w programie komputerowym.

Istnieje możliwość nie narzucania rozumowania związanego z podziałem na trójkąty, ale wyłącznie „pomiar” (komputerowy) sumy kątów po zmianie ilości boków. Uczniowie po zauważeniu prawidłowości, że każdorazowo suma wzrasta o 180o , nie znając opisanej zasady podziału wielokąta na trójkąty, najpierw są w stanie zbudować poprawnie wyrażenie algebraiczne, a następnie – poprzez skojarzenie tej zmiany z sumą kątów trójkąta, mogą poszukiwać geometrycznego uzasadnienia odkrytej prawidłowości. Wymaga to zmiany instrukcji stosownie do opisanej koncepcji.

 

Podstawa programowa:

Cele kształcenia (wymagania ogólne):

- modelowanie matematyczne - uczeń dobiera lub buduje model matematyczny prostej sytuacji,

- użycie i tworzenie strategii - uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania lub tworzy strategię rozwiązania problemu,

 

Treści nauczania (wymagania szczegółowe):

6. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:

1) opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między różnymi wielkościami;

2) oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych;

10. Figury płaskie. Uczeń:

8) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i w trapezach;