Czy elipsa to stożkowa?

Autor: Ksawery Stojda

Więcej ciekawych lekcji na blogu autora

Doświadczenie:
Sporządzamy przekroje piankowych stożków. Badamy kształt krawędzi przekroju (krzywych stożkowych) przy pomocy odcisku na papierze milimetrowym. Porównujemy to z analitycznym (kartezjańskim) i klasycznym (euklidesowym) przedstawieniem tych krzywych.

 

Grupa docelowa:
U mnie: gimnazjum.
Choć, o czym właśnie się przekonałem czytając po raz kolejny „Rozporządzenie…” można w Polsce uzyskać maturę z matematyki na rozszerzonym poziomie nie wiedząc, co to jest elipsa. Krzywych stożkowych nie ma w programie!
Te zajęcia są więc poza podstawą programową…

 

Cele edukacyjne:
Krzywe stożkowe. Przekroje brył. Trening wyobraźni przestrzennej. Równania drugiego stopnia. Przekształcenia algebraiczne. Twierdzenie Pitagorasa. Upraszczanie układów równań. Równoważność geometrii w ujęciu klasycznym (euklidesowym) i algebraicznym (kartezjańskim). Przestrzeń kartezjańska i opis figur w niej.

 

Sprzęt:
– stożkowe formy do odlania kilku piankowych stożków (plastikowy lejek, plastikowe jednorazowe kieliszki i filiżanki — stożki ścięte o różnych wymiarach i rozwartości);
– pianka budowlana w sprayu;
– smalec (nie miałem wazeliny technicznej…) do natłuszczenia form;
– nóż techniczny;
– ręczna piła do drewna;
– płaska deska z naklejonym gruboziarnistym papierem ściernym do szlifowania przekrojów;
– papier milimetrowy;
– szybkoschnąca farba;
– papierowe ręczniki;
– przyrządy kreślarskie.

 

Doświadczenie:
Z pianki montażowej odlewamy w formach kilka stożków o wymiarach rzędu 5-10 cm i różnej rozwartości.
Uwaga: standardowa pianka twardnieje w wystarczającym stopniu dopiero po około 2h, powinniśmy więc przygotować nasze stożki przed zajęciami, a lepiej poprzedniego dnia (moje stożki, przygotowane 2.5h przed zajęciami dały się już bezproblemowo szlifować, ale jeszcze nie były całkiem twarde). W handlu są dostępne pianki „błyskawiczne” (być może udałoby się z nimi), ale ja miałem w swoich garażowych zapasach tylko zwykłą piankę Soudal.
Najlepiej byłoby, gdyby to uczniowie sami na jednej lekcji odlali swoje stożki, a ich przekroje robili na następnych zajęciach kilka dni później. Mój uczeń odlał swój stożek, potem kroił stożki przygotowane przeze mnie przed zajęciami, a pod koniec lekcji przeciął swój, by zobaczyć, że ten jeszcze jest trochę miękki. Pianka utwardza się pod wpływem wilgoci zawartej w powietrzu — jeśli nam się spieszy, to po wstępnym stężeniu warto wyjąć odlewy z form i zostawić do pełnego stwardnienia w zaparowanej łazience.

Stożki przecinamy piłą pod różnymi kątami tak, by otrzymać koła, elipsy, parabole i hiperbole. Przekroje szlifujemy na desce oklejonej grubym papierem ściernym tak, by były całkiem płaskie.
Przekrój smarujemy cieniutką warstewką farby (używając papierowego ręcznika) i odciskamy na papierze milimetrowym.

 

Lekcja-dyskusja:
Jakie kształty mają nasze kleksy?

Jak wyglądają równania okręgu, elipsy, paraboli, hiperboli, w kartezjańskim ujęciu? Czy krawędzie naszych kleksów je spełniają? Zbierzmy po kilkanaście punktów z krawędzi każdego odcisku i sprawdźmy!

Elipsa u Euklidesa to nie tylko przecięcie stożka płaszczyzną, ale przede wszystkim punkty takie, że suma odległości od ognisk jest taka sama. Czy tu tak jest? Gdzie są te ogniska? Czy punkty na krawędzi kleksa (o już omówionym równaniu) spełniają tę zależność? A dla paraboli? A dla hiperboli (na hiperbolę nie starczyło nam już czasu – to zadanie do domu)? A gdzie są ogniska i kierownice? (to znów zostawiłem uczniowi do wyznaczenia samodzielnie i omówienia za tydzień)

 

Zadanie domowe:
Zadanie zadał mi uczeń, obaj mamy się nad odpowiedzią zastanowić do następnego tygodnia:
„Gdybyśmy przecięli walec skośną płaszczyzną, to oczywiste, że dostalibyśmy elipsę. Ale dlaczego przecinając stożek też dostajemy elipsę, a nie jajo (czyli coś o dużej krzywiźnie przy czubku bliżej wierzchołka stożka i mniejszej krzywiźnie przy drugim)? Wyliczyliśmy, że to jest równa elipsa, ale to jest sprzeczne z intuicją. Dlaczego tak jest???

Obawiam się, że dla mnie to pytanie będzie trudniejsze niż dla niego, bo odpowiedź „jeśli się to przeliczy w układzie kartezjańskim, to tak wychodzi” już została z góry odrzucona jako nie satysfakcjonująca poznawczo…